二次函数例题讲解（谁能给我详细的讲讲二次函数）

本文目录

• 谁能给我详细的讲讲二次函数
• 数学二次函数题型讲解
• 二次函数
• 怎样求二次函数解析式 详细一点的,最好有例题,
• 二次函数怎么配方法
• 怎样求二次函数解析式
• 求二次函数解析式的三种方法
• 二次函数的解法
• 二次函数的四种解析式
• 中考二次函数经典例题及解析

谁能给我详细的讲讲二次函数

二次函数的图象和性质2010-11-20 14:341、二次函数y=ax2＋c的图象与性质
　　(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．
　　(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．
　　当a》0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
　　当a《0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．
　　(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
　　抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c》0时，向上平行移动，当c《0时，向下平行移动．
2、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
　　①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
　　②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
　　③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
3、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质
　　一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
　　①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
　　②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
　　③顶点坐标是(h，k)．
　　二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
　　即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．
　　当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
　　当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
　　由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到：
　　第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；
　　第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位．
　　所以抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同．
5、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
　　（1）先确定二次函数的对称轴，在对称轴的左右两侧取自变量x的值，通过列表、描点，用光滑曲线连接得到图象．
　　（2）通过二次函数的图象进行平移得到抛物线y=ax2＋bx＋c的图象．
6、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征

a
1．决定抛物线的开口方向；
2．决定增减性
a＞0
开口向上

a＜0
开口向下

c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方

c=0
抛物线过原点

c＜0
交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧

ab＜0
对称轴在y轴右侧
二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
　　（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；
　　（2）顶点式：y=a(x－h)2＋k，（h，k）为函数图象的顶点；
　　（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)，(x1，0) ， (x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
　　二次函数的平移规律：任意抛物线y=ax2＋bx＋c都可转化为y=a（x－h）2＋k，便可以由y=ax2适当平移得到．
y=ax2
h＞0向右平移个单位
y=a(x－h)2
k＞0向上平移个单位长度
y=a(x－h)2＋k

h＜0向左平移个单位
k＜0向下平移个单位长度
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
　　用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式．如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式．
三、典型例题讲解
例1、已知抛物线，求：
(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)作出草图；
(3)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？
分析：
　　解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．
解：
　　(1)．∵，∴抛物线开口向上．
　　抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．
　　(2)列表，描点作出图象略．
　　或由先作出的图象，再由抛物线向左平移6个单位，再向下平移8个单位得到．草图如图所示．
　　(3)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．
反思：
　　画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．
例2、将抛物线y＝2x2如何平移可得到抛物线y＝2(x－4)2－1（　）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
分析：
　　根据抛物线y＝ax2和y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的平移关系，可以得出结论．
解：
　　∵－h＝－4《0，∴顶点向右平移4个单位．
　　∵k＝－1《0，∴顶点向下平移1个单位．
　　∴抛物线y＝2（x－4）2－1是由抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向下平移1个单位而得到的．
答案：D
例3、一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1)；③当x＞－1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．
分析：
　　此题中的抛物线表达式符合y=a(x＋1)2＋k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解．
　　由①知，抛物线开口方向向上，a＞0，取a=1，由③知可令此抛物线的对称轴为x=－1，因此可设y=(x＋1)2＋k，将点(－1，1)代入，得k=1．
　　∴y=(x＋1)2＋1．
答案：
　　y=2(x＋1)2＋1，等
反思：
　　解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据限制条件作答．
例4、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c在同一坐标系中的图象大致是（　）
分析：
　　此类题目可从选择答案入手，根据图象确定其中字母的符号，看结果是否一致，将不一致的排除掉．
解：
　　A中从抛物线看a＜0，c＞0，从直线看a＞0，c＜0，故A错；同理B中，c＜0与c＞0矛盾，B错；C中a＜0，c＞0，一次函数a＜0，c＞0相一致，故C正确；D中a＞0，与a＜0矛盾，故D错误．选C.
例5、求满足下列条件的二次函数的解析式
(1)图象经过A(－1，3)、B(1，3)、C(2，6)；
(2)图象经过A(－1，0)、B(3，0)，函数有最小值－8；
(3)图象顶点坐标是(－1，9)，与x轴两交点间的距离是6.
分析：
　　此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解.
(1)解：
　　设解析式为y=ax2＋bx＋c，把A(－1，3)、B(1，3)、C(2，6)各点代入上式得
解得
　　∴解析式为y=x2＋2.
　　(2)解法1：由A(－1，0)、B(3，0)得抛物线对称轴为x=1，所以顶点为(1，－8).
　　设解析式为y=a(x－h)2＋k，即y=a(x－1)2－8.
　　把x=－1，y=0代入上式得0=a(－2)2－8，∴a=2.
　　即解析式为y=2(x－1)2－8，即y=2x2－4x－6.
　　解法2:设解析式为y=a(x＋1)(x－3)，确定顶点为(1，－8)，
　　把x=1，y=－8 代入上式得－8=a(1＋1)(1－3).
　　解得a=2，
　　∴解析式为y=2x2－4x－6.
　　解法3：∵图象过A(－1，0)，B(3，0)两点，可设解析式为:y=a(x＋1)(x－3)=ax2－2ax－3a.
　　∵函数有最小值－8.
　　∴=－8.
　　又∵a≠0，∴a=2.
　　∴解析式为y=2(x＋1)(x－3)=2x2－4x－6.
　　(3)解:由顶点坐标(－1，9)可知抛物线对称轴方程是x=－1，
　　又∵图象与x轴两交点的距离为6，即AB=6.
　　由抛物线的对称性可得A、B两点坐标分别为A(－4，0)，B(2，0)，
　　设出交点式y=a(x－x1)·(x－x2)，
　　将A(－4，0)，B(2，0)代入上式求得函数解析式为y=－x2－2x＋8.
点评：
　　一般地，已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x，y的值)可设表达式为y=ax2＋bx＋c，组成三元一次方程组来求解； 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值，可选用y=a(x－h)2＋k来求解；若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标，则一般设解析式为y=a(x－x1)(x－x2).

数学二次函数题型讲解

一、理解二次函数的内涵及本质 .
二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、
b 、 c 是常数）中含有两个变量 x 、 y
，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形 .
二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质 .
1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h
） 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式 .
2
、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右” .
y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上减下”是针对 k
而言的，“加左减右”是针对 h 而言的 .
总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移
.
3
、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；
4 、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数 a 、 b 、 c
、△以及由系数组成的代数式的符号等问题 .
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用 .
1 、要能准确灵活地求出“顶点” . 形如
y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →顶点（－ h,k ），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点 .
2
、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 . 若顶点为（－ h ， k ），则对称轴为 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若对称轴为 x=m ， y
最值 =n ，则顶点为（ m ， n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果 .
3 、利用顶点画草图 .
在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图象 .
四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法 .
一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 .
如果方程无实数根，则说明抛物线与 x 轴无交点 .
从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 .
五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式 .
用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益
.
二次函数y=ax2
学习要求:
1．知道二次函数的意义．
2．会用描点法画出函数y＝ax2的图象，知道抛物线的有关概念．
重点难点解析
1.本节重点是二次函数的概念和二次函数y＝ax2的图象与性质；难点是根据图象概括二次函数y＝ax2的性质.
2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数都是二次函数.解析式中只能含有两
个变量x、y，且x的二次项的系数不能为0，自变量x的取值范围通常是全体实数，但在实际问题中应使实际量有意义。如圆面积S与圆半径R的关系式S＝πR2中，半径R只能取非负数。
3.抛物线y＝ax2的形状是由a决定的。a的符号决定抛物线的开口方向，当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大.
4.画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
本节命题主要是考查二次函数的概念，二次函数y＝ax2的图象与性质的应用。
核心知识
规则1
二次函数的概念:
一般地，如果是常数，那么，y叫做x的二次函数．
规则2
抛物线的有关概念:
图13-14
如图13-14，函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上，二次函数的图象都是抛物线．抛物线y=x2是开口向上的,y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点．
规则3
抛物线y=ax2的性质:
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．
规则4
1.二次函数的概念
(1)定义：一般地，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的的二次函数.
(2)二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征是：等号左边是函数y，右边是自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中一次项系数b和常数项c可以是任意实数，而二次项系数a必须是非零实数，即a≠0.
2.二次函数y＝ax2的图像
图13-1
用描点法画出二次函数y＝x2的图像，如图13-1，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y＝x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
3.二次函数y＝ax2的性质
函数
图像
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a＞0
向上
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而增大；
x＜0时，y随x增大而减小.
当x＝0时，y最小＝0.
y=ax2
a＜0
向下
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而减小；
x＜0时，y随x增大而增大.
当x＝0时，y最大＝0.
4.二次函数y＝ax2的图像的画法
用描点法画二次函数y＝ax2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.
二次函数y=ax2+bx+c
学习要求：
1．会用描点法画出二次函数的图象．
2．能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点、的位置．
*3．会由已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．
重点难点
1.本节重点是二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质的理解及灵活运用，难点是二次函数y＝ax2+bx+c的性质和通过配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式。
2.学习本小节需要仔细观察归纳图象的特点以及不同图象之间的关系。把不同的图象联系起来，找出其共性。
一般地几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同，只是位置不同.
任意抛物线y＝a(x-h)2+k可以由抛物线y＝ax2经过适当地平移得到，具体平移方法如下图所示：
注意：上述平移的规律是：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”实际上有关抛物线的平移问题，不能死记硬背平移规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移的距离非常简便.
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y＝ax2的图象形状完全一样，它们的性质也有相似之处。当a＞0时，两条抛物线的开口都向上，并向上无限延伸，抛物线有最低点，y有最小值，当a＜0时，开口都向下，并向下无限延伸，抛物线有最高点，y有最大值.
3.画抛物线时一定要先确定开口方向和对称轴、顶点位置，再利用函数对称性列表，这样描点连线后得到的才是完整的，比较准确的图象。否则画出的图象，往往只是其中一部分。例如画y＝-
(x+1)2-1的图象。
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-12
4.用配方法将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式，首先要提出二次项系数a。常犯的错误只提第一项，后面漏提。如y＝-
x2+6x-21 写成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符号弄错，主要原因是没有掌握添括号的规则。
本节命题主要考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质及其在实际生活中的运用。既有填空题、选择题，又有解答题，与方程、几何、一次函数的综合题常作为中考压轴题。
核心知识
规则1
抛物线 y=a(x-h)2+k 的性质:
一般地，抛物线
y=a(x-h)2+k 与 y=ax2 形状相同，位置不同．抛物线 y=a(x-h)2+k 有如下特点：
(l)
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
(2) 对称轴是直线x＝h；
(3) 顶点坐标是(h，k)．
规则2
二次函数 y=ax2+bx+c 的性质:
y=ax2+bx+c （ a，b，c
是常数，a≠0）是二次函数，图象是抛物线．利用配方，可以把二次函数表示成 y=a(x-h)2+k 的形式，由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是
，当a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
规则3
1.二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和
x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
2.二次函数解析式的确定
确定二次函数解析式，一般仍用待定系数法.由于二次函数解析式有三个待定系数a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件.当已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便；当已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便；当已知抛物线与x轴两个点的坐标(或横坐标x1,x2)时，选用两根式较为方便.
注意：当选用顶点式或两根式求二次函数解析式时，最后一般都要化一般式.
3.二次函数y＝ax2+bx+c的图像
二次函数y＝ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
4.二次函数的性质
根据二次函数y＝ax2+bx+c的图像可归纳其性质如下表：
函数
二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
图
像
a＞0
a＜0
(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸.
(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).
(3)当x＜- 时，y随x的增大而减小；当x＞- 时，y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点，当x＝-
时，y有最小值，y最小值＝ .
(1) )抛物线开口向下，并向下无限延伸.
(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).
(3)当x＜- 时，y随x的增大而增大；当x＞- 时，y随x的增大而减小.
(4)抛物线有最高点，当x＝-
时，y有最大值，y最大值＝ .
5.求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k.
②公式法：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝
，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ .
6.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
7.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的位置与a、b、c及Δ符号有密切的关系(见下表)：
项
目
字
母
字母的符号
图像的位置
a
a＞0
a＜0
开口向上 开口向下
b
b=0 ab＞0 ab＜0
对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
c
c=0 c＞0 c＜0
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
8.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2+bx+c的图像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
Δ＞0 抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝0 抛物线与x轴有1个交点；
Δ＜0 物线与x轴有0个交点(没有交点). 望采纳！亲

二次函数

1、二次函数的定义
一般地，形如y=ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．如y=3x2，y=3x2－2，y=2x2＋x－1等都是二次函数．
注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式；
(2)二次函数y=ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数；
(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数；
(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2－x(x－1)化简后变为y=x，故它不是二次函数．
2、二次函数y=ax2的图象和性质
（1）函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上所有二次函数的图象都是抛物线．
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是(0，0)．
①当a》0时，抛物线y=ax2的开口向上，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升，顶点是抛物线上位置最低的点，也就是说，当a》0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x《0时，函数y随x的增大而减小；当x》0时，函数y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取最小值，最小值y=0；
②当a《0时，抛物线y=ax2的开口向下，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降，顶点是抛物线上位置最高的点．也就是说，当a《0时，函数y=ax2具有这样的性质：当x《0时，函数y随x的增大而增大；当x》0时，函数y随x的增大而减小；当x=0时，函数y=ax2取最大值，最大值y=0；
③当|a|越大时，抛物线的开口越小，当|a|越小时，抛物线的开口越大．
（2）二次函数y=ax2的表达式的确定
因为二次函数y=ax2中只含有一个需待定的系数a，所以只需给出x与y的一对对应值即可求出a的值．
3、二次函数y=ax2＋c的图象与性质
(1)抛物线y=ax2＋c的形状由a决定，位置由c决定．
(2)二次函数y=ax2＋c的图象是一条抛物线，顶点坐标是(0，c)，对称轴是y轴．
当a》0时，图象的开口向上，有最低点(即顶点)，当x=0时，y最小值=c．在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x增大而增大．
当a《0时，图象的开口向下，有最高点(即顶点)，当x=0时，y最大值=c．在y轴左侧，y随x的增大而增大；在y轴右侧，y随x增大而减小．
(3)抛物线y=ax2＋c与y=ax2的关系．
抛物线y=ax2＋c与y=ax2形状相同，只有位置不同．抛物线y=ax2＋c可由抛物线y=ax2沿y轴向上或向下平行移动|c|个单位得到．当c》0时，向上平行移动，当c《0时，向下平行移动．
二、重点知识讲解
1、二次函数的基本特征是其函数解析式是关于自变量的二次式，在判断一个函数是否为二次函数时，应抓住这个基本特征，同时应注意a≠0这个条件.
例1、下列函数中，（x，m为自变量），哪些是二次函数？
（1）n=m2－3m＋　　　（2）y=－1＋x2
（3）　　　（4）
（5）y=ax2＋bx＋c　　　　（6）
解：
根据二次函数的定义可知
（1）（2）（6）是二次函数，其中（6）式可写成，而（3）的右边不是整式．（4）是m的三次函数，（5）中a应不为0．
2、学习y=ax2的图象及性质时应着重掌握对称轴、顶点、性质；在学习性质时，应当注意a的作用，它的符号决定了抛物线的开口方向，它的绝对值决定了抛物线的开口大小。
例2、在同一直角坐标系中，
(1)画出下列函数的图象．①；②y=2x2；③；④y=－2x2；
(2)说出四个图象的区别与联系．
分析：
列表时，应在顶点的左右两侧对称地选取自变量x的值，并把函数放在一起，把y=2x2和y=－2x2放在一起列表时要方便些．一般情况下，包括顶点，描出5至7个点即可．连线时要注意平滑，图象的两边要伸展出去．
解：(1)①列表：
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4

84.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8

－8
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
－8
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2

y=2x2
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
y=－2x2
－8
－4.5
－2
－0.5
0
－0.5
－2
－4.5
－8

②描点；
③连线．如图所示．

(2)四个图象的区别与联系，如下表：
函数
区别 联系

图象开口方向
抛物线位置
开口大小

y=2x2
a》0，开口向上
抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴上方，并向上无限延伸
当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽
四个图象的顶点都是原点，对称轴都是y轴
y=－2x2a《0，开口向下
抛物线除顶点在x轴上外，其余在x轴下方，并向下无限延伸
当|a|变大时，抛物线开口变窄，当|a|变小时，抛物线开口变宽

反思：①对于y=2x2和y=－2x2，|a|》1，在选取x的值时，每两点相隔半个单位比每两点相隔一个单位画图方便．
②一定要对图象仔细观察，常误认为|a|越大，开口越大，|a|越小，开口越小．而实际上恰好相反，即|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．
③用平滑曲线连接各点时，两点间不能出现直线的情况．
例3、已知抛物线y=ax2经过点A(－2，－8)．
(1)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上：
(2)求出此抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．
分析：
先把点A(－2，－8)代入抛物线的表达式y=ax2中，确定a的值，从而确定抛物线y=ax2的表达式，再把B点坐标代入验证是否满足抛物线的表达式，最后将y=－6代入表达式，即通过解方程求出横坐标．
解：
(1)把(－2，－8)代入y=ax2得－8=a(－2)2．
∴a=－2．∴抛物线的关系式为y=－2x2．
∵－4≠－2×(－1)2，∴点B(－l，－4)不在此抛物线上．2)由－6=－2x2，得，
　　∴抛物线上纵坐标为－6的点有两个，即(，－6)和(，－6)．
　　反思：由于抛物线是轴对称图形，所以除顶点外，每一个y值都对应着两个x值．注意不要漏掉一个．
例4、在同一直角坐标系中，作出二次函数y=2x2－2和y=2x2＋3的图象，观察图象，可得出哪些结论？
解析：
　　按作二次函数图象的三个步骤，列表，描点，连接可分别作出它们的图象，再由它们的形状，开口方向，对称轴，顶点坐标及平移等可得．
解：（1）列表：
x

－2
－1
0
1
2

……

y=2x2－2
10.5 6
0
－2
0
6
10.5
……

y=2x2＋3
15.5
11
5
3
5
11
15.5
……

　　（2）描点；
　　（3）用光滑曲线连接，得两支抛物线．
设y=2x2＋3　①和y=2x2－2　　②
　　观察两函数图象可知：
　　1）①、②的图象形状相同；
　　2）开口方向相同，都向上；
　　3）对称轴都是y轴；
　　4）①的图象顶点坐标是（0，3），②的图象顶点坐标是（0，－2），其中①的图象可以看成是②的图象向上平移5个单位得到，反之②的图象也可以看成是①的图象向下平移5个单位得到．
　　5）当x《0时，①、②中y的值随x增大而减小，当x=0，①、②中y=0，当x》0时，①、②中y的值随x增大而增大．
三、难点知识突破
1、对二次函数概念的理解
例5、已知函数(m是常数)．当m为何值时，此函数为二次函数?
分析：
　　根据二次函数的定义知m2－3m－2=2且m＋1≠0．即当m=4(m=－1不合题意，舍去)时，y=5x2＋3x是二次函数．
解：
　　由题知m2－3m－2=2，m＋1≠0，解得m=4．∴当m=4时，此函数为二次函数．
误区警示：
　　在求解本题时，既要考虑x的最高次项的指数为2，又要考虑它的系数不为0，缺一不可，否则容易犯顾此失彼的错误．
2、数形结合是数学的重要思想之一，二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，它的顶点的纵坐标对应着Y的最值；它的图象与X轴的位置关系对应着Y的符号。下面以两道简单的例题进行说明。例6、求下列函数的最值：
（1）y=3x2　　　　（2）y=-3x2
解析：
　　（1）由y=3x2的图象可知，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，y随x增大而增大，因此，顶点为图象的最低点，顶点的纵坐标为y的最小值。
　　（2）同理由y=-3x2的图象可知当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，因此，顶点为图象的最高点，顶点的纵坐标为y的最大值。
3、二次函数Y=ax2＋c的表达式的确定
　　二次函数y=ax2＋c的表达式中含有a、c两个字母系数，一般需要两个独立的条件并用待定系数法确定a、c即可．有时在实际问题中，还需要根据抛物线的位置和形状来设出函数表达式，再利用待定系数法来确定函数表达式．
例7、已知抛物线y=ax2＋c与直线y=x＋l交于两点A(1，m)和B(n，－1)，求抛物线的解析式．
分析：
　　先由两点A、B在直线y=x＋1上，分别求得m，n的值，从而得A、B两点的坐标，又抛物线过A、B两点，代入表达式中，解方程组得出结论．
解：
　　∵抛物线y=ax2＋c与直线y=x＋l交于两点A(1，m)，B(n，－1)，
　　
　　∴A(1，2)，B(－2，－1)．代入抛物线的表达式中，得
　　
　　解这个方程组，得a=－1，c=3．
　　故抛物线的表达式为y=－x2＋3．
　　反思：解题次序很重要，本题应该先由A、B在直线上，求得m，n的值，然后再用待定系数法求a、c的值，从而得到抛物线的表达式．另外，点在直线或抛物线上，则点的坐标适合直线或抛物线对应的表达式．
1、二次函数y=a(x－h)2的图象与性质
　　①抛物线y=a(x－h)2的对称轴为x=h，顶点为(h，0)．
　　②y=a(x－h)2的形状与y=ax2的图象的形状相同，只是位置不同，它们彼此可以通过平移而得到．
　　③把y=ax2的图象向左(或向右)平移|h|个单位，即得y=a(x－h)2的图象，由实践可知，当h＞0时，向右平移，当h＜0时，向左平移．
2、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质：
　　一般地，抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k有如下特点：
　　①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
　　②对称轴是平行于y轴的直线x=h；
　　③顶点坐标是(h，k)．
　　二次函数y=a(x－h)2＋k的图象可由抛物线y=ax2向左(或向右)平移|h|个单位，再向上(或向下)平移|k|个单位而得到．
3、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
　　二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，对二次函数y=ax2＋bx＋c可通过配方求其顶点坐标与对称轴．
二次函数y=ax2＋bx＋c总可通过配方得
　　
　　即可化为y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c与y=a(x－h)2＋k的图象具有一致性，即y=ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，它的顶点坐标为，对称轴是直线．
　　当a＞0时，抛物线开口向上，有最低点(即顶点)，当时，，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
　　当a＜0时，抛物线开口向下，有最高点(即顶点)，当时，．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，同时由于y=ax2＋bx＋c可化为的形式，所以抛物线y=ax2＋bx＋c可由抛物线y=ax2平移得到．
　　第一步：若时，把y=ax2的图象向右平移个单位；若时，把y=ax2的图象向左平移个单位；
　　第二步：若时，再把第一次平移后的图象向上平移个单位；若时，再把第一步平移后的图象向下平移个单位．
　　抛物线y=ax2＋bx＋c与抛物线y=ax2的形状相同，只是位置不同．
4、二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的画法
　　根据二次函数图象的基本特征，通常采用五点法．
　　步聚：（1）先根据函数的解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
　　（2）求出抛物线y=ax2＋bx＋c与坐标轴的交点；
　　当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D，将这五个点按从左到右的顺序连接起来．
　　当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图，如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接起来，画出二次函数的图象．
5、抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与系数a、b、c的关系
a、b、c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征

a
1．决定抛物线的开口方向；
2．决定增减性
a＞0
开口向上

a＜0
开口向下

c
决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)
c＞0
交点在x轴上方

c=0
抛物线过原点

c＜0
交点在x轴下方

决定对称轴的位置，对称轴是
ab＞0
对称轴在y轴左侧

ab＜0
对称轴在y轴右侧

二、重难点知识讲解
1、二次函数的三种形式：
（1）一般式：y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)；
（2）顶点式：y=a(x-h)2＋k（h，k）为函数图象的顶点；
（3）交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(x1，0)，(x2，0)为函数图象与x轴的交点.
2、图象的变换
　　（1）平移的方向的确定是一个难点，对此，我们可以通过顶点的变化情况来决定。例如：y=x2＋2x＋3顶点坐标为(-1，2)，y=x2顶点坐标为(0，0)，将(0，0)向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到(-1，2)，因此，将y=x2向左平移1个单位，向上平移2个单位，就得到y=x2＋2x＋3。
　　（2）左右平移改变的是x的值，上下平移改变的是y的值，一般地，左加右减，上加下减。例如：y=x2＋2x＋3向右平移1个单位，得到y=(x－1)2＋2(x－1)＋3，向下平移2个单位，就得到y=(x－1)2＋2（x－1）＋3－2，整理后就得到y=x2。
3、根据已知条件正确求出二次函数的关系式
　　用待定系数法求函数解析式时，应当根据已知条件选择适当的二次函数的形式。如果知道函数图象与x轴的交点，那么选择交点式；如果知道函数图象的顶点，那么选择顶点式；如果知道函数图象上三个一般的点，那么选择一般式。
三、典型例题讲解
例1、已知抛物线，求：
(1)函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)作出草图；
(3)根据图象指出x为何值时，y＞0，y=0，y＜0；
(4)根据图象指出函数的最大值或最小值是多少？
分析：
　　解本题的关键是作出已知函数的图象，再根据图象探讨相关性质，这比凭空思考，或单纯的计算更为形象、直观．
解：
　　(1)．
　　∵，∴抛物线开口向上．
　　抛物线的对称轴是x=－6，顶点坐标为(－6，－8)．
　　(2)抛物线与x轴的交点是(－10，0)，(－2，0)，与y轴的交点是(0，10)，草图如图所示．

　　(3)当x＜－10或x＞－2时，y＞0；
　　当x=－10或x=－2时，y=0；
　　当－10＜x＜－2时，y＜0．
　　(4)当x=－6时，y有最小值，最小值是－8．
反思：
　　画二次函数y=ax2＋bx＋c的图象往往通过把解析式配方得到，先确定对称轴和顶点，再在对称轴的两边找出关于对称轴不少于两组的对应点，最后利用平滑的曲线把这些点连起来．
例2、抛物线y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则a、b、c的符号为（　）

A．a＜0，b＞0，c=0　　　　　　B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＜0，c=0　　　　　　D．a＜0，b＞0，c＜0分析：
　　由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0，抛物线与y轴交于O点，则x=0时，y=0，得c=0，故排除B，D.对称轴在y轴左侧，则，a、b同号f，因a＜0，故b＜0．所以选C．
答案：C
反思：
　　由图象确定a，b，c的符号，其中a，c的符号可直观得到．只有b的符号的确定较繁，但也有技巧，只要看对称轴的位置即可，若对称轴在y轴左侧，则a、b同号；若对称轴在y轴右侧，则a，b异号，简称“左同，右异”．
例3、(2006年，黄冈模拟)一个二次函数，具有下列性质：①它的图象不经过第三象限；②图象经过点(－1，1)；③当x＞－1时，函数值y随自变量x增大而增大，试写出一个满足上述三条件性质的函数关系式：__________．
分析：
　　此题中的抛物线表达式符合y=a(x＋1)2＋k的形式，再根据题目中的条件画出函数图象，依据数形结合，易求解．
　　由①知，抛物线开口方向向上，a＞0，取a=1，由③知可令此抛物线的对称轴为x=－1，因此可设y=(x＋1)2＋k，将点(－1，1)代入，得k=1．
　　∴y=(x＋1)2＋1．
答案：y=2(x＋1)2＋1，等
反思：解此类问题的关键是恰当地设出表达式，再根据限制条件作答．
例4、已知二次函数的图象的顶点是（1，-8），且经过点（3，0），求这个二次函数关系式．
分析：
　　因为已知二次函数图象顶解法四：因为抛物线顶点为（1，－8），所以设函数关系式为y=a(x-1)2－8．
　　把(3，0)代入上式，得O=a(3－1)2－8．∴a=2．
　　∴二次函数关系式为y=2(x－1)2－8=2x2－4x－6.
　　解法五：∵抛物线对称轴为直线x=1，与x轴一个交点为（3，0），设另一交点为（x2，0），则1=.
　　∴x2=－1.∴设二次函数关系式为y=a(x+1)(x-3).
　　把（1，－8）代入上式，得－8=a·2·（-2）．∴a=2．
　　∴二次函数关系式为y=2(x＋1)（x－3）=2(x2－2x－3)=2x2-4x-6．
反思：
　　求二次函数关系式方法，应根据具体问题是灵活应用，选取最简方案．
例5、如图，已知抛物线y=x2－ax＋a＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D(0，8)，直线DC∥x轴，交抛物线于另一点C．动点P以每秒2个单位长度的速度从C出发，沿C→D运动．同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动，连接PQ，CB．设点P的运动时间为t秒．
　　(1)求a的值；
　　(2)当t为何值时，PQ∥y轴；
　　(3)当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值．

分析：
　　(1)将D(0，8)代入抛物线的表达式中可求出a的值；
　　(2)当PQ∥y轴时，DP=OQ，用t的关系式分别表示DP的长和OQ的长，即可求出t的值；点及与x轴一个交点，故可用一般式，顶点式或两点式．
(3)应用可求出t的值，此时实质是解含t的方程．
解：
　　(1)∵D(0，8)在抛物线上，
　　∴a＋2=8，∴a=6，
　　(2)当a=6时，抛物线的表达式为：y=x2－6x＋8．
当y=8时，x2－6x=0，
∴x1=0，x2=6．
即C点坐标为(6，8)．
当y=0时，x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4．
∴A(2，0)，B(4，0)．
∴CP=2t，AQ=t．
∴P(6－2t，8)，Q(2＋t，0)．
由6－2t=2＋t，解得．
即当秒时，PQ∥y轴．
(3) ．
由4t＋8=14，得．∴当秒时，四边形PQBC的面积是14．
反思：
　　函数与几何知识相结合，一定要依据几何性质找到变量间的数量关系．同时注意平面直角坐标系中，与y轴平行的直线上的点的纵坐标相同．

怎样求二次函数解析式 详细一点的,最好有例题,

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a,b,c为常数,且a≠0）而言,其中含有三个待定的系数a ,b ,c．求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a ,b ,c 的方程,再把求出的a ,b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式．
巧取交点式法
知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1,x2
分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标．已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便．
典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式．
例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点（2,8）,求二次函数的解析式．
析解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x－1),∵过点（2,8）,∴8＝a(2+2)(2－1)．解得a=2,∴抛物线的解析式为y＝2(x+2)(x－1),
即y＝2x2+2x－4.典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交
点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解.例2已知二次函数的顶点坐标为（3,－2）,并且图象与x轴两交点间的距离为4
．求二次函数的解析式.思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决．由顶点坐标为（3,－2）的条件,易知其对称轴为x＝3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1,0）和（5,0）．此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式．
顶点式的妙处
顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0）,其中（h,k）是抛物线的顶点．当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a．在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题．在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便．
典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数
顶点式.例3已知抛物线的顶点坐标为（-1,-2）,且通过点（
1,10）,求此二次函数的解析式.析解∵顶点坐标为（-1,-2）,
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）．把点（1,10）代入上式,得10=a(1+1)2-2．∴a=3．∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1．典型例题二：如果a》0,那么当x= -b2a时,y有最小
值且y最小=4ac-b24a；如果a

二次函数怎么配方法

二次函数简单的配方法：

1、把二次项系数提出来。

2、在括号内，加上一次项系数一半的平方，同时减去，以保证值不变。

3、这时就能找到完全平方了。然后再把二次项系数乘进来即可。

例题示例如下：

y=3X²-4X+1【原式】

=3（X²-4/3X）+1【提二次项系数】

=3（X²-4/3X+4/9-4/9）+1【加一次项系数平方】

=3（X-2/3）²-4/3+1【乘进二次项系数】

=3（X-2/3）²-1/3【整理】

最简单的口诀就是记公式，公式整理如下图：

扩展资料：

二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和的方法。这种方法是把以下形式的多项式化为以上表达式中的系数a、b、c、d和e，它们本身也可以是表达式，可以含有除x以外的变量。

配方法通常用来推导出二次方程的求根公式：我们的目的是要把方程的左边化为完全平方。

怎样求二次函数解析式

1、条件为已知抛物线过三个已知点，用一般式：Y=aX^2+bX+c , 分别代入成为一个三元一次方程组，解得a、bc的值，从而得到解析式。

2、已知顶点坐标及另外一点，用顶点式：Y=a(X-h)^2+K , 点坐标代入后，成为关于a的一元一次方程，得a的值，从而得到 解析式。

3、已知抛物线过三个点中，其中两点在X轴上，可用交点式(两根式)：Y=a(X-X1)(X-X2) , 第三点坐标代入求a，得抛物线解析式。

扩展资料：

y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h》0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a》0时，抛物线开口向上；当a《0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab》0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab《0），对称轴在y轴右侧。（可巧记为：左同右异）

常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）。

求二次函数解析式的三种方法

求二次函数解析式的三种方法如下：

在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件，设出恰当的解析式，具体如下：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=a(x－m)2+k(a≠0)来求解。

3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解。

值得注意的是，用交点式来求二次函数的解析式，前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。

求解二次函数解析式，典型例题分析1：

已知一个二次函数图象经过（-1，-3）、（2，12）和（1，1）三点，那么这个函数的解析式是_______。

解：将点（-1，-3）、（2，12）和（1，1）坐标代入y=ax2+bx+c，可得：

-3=a（-1）2+b（-1）+c

12=a·22+b·2+c

1=a·12+b·1+c

解得a=3,b=2,c=-4。

因此所求函数解析式为y=3x2+2x-4。

求出待定系数a,b,c,进而获得解析式y=ax2+bx+c.

解题反思：

已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax2+bx+c,将三个点的坐标代入，把问题转化为求解一个三元一次方程组，易得a=3,b=2,c=-4，故所求函数解析式为y=3x2+2x-4。

求解二次函数解析式，典型例题分析2：

已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。

解：设此二次函数的解析式为，由题意得：

-9=a（-1）2+b（-1）+c

-3=a·12+b·1+c

-5=a·32+b·3+c

解得a=-1,b=3,c=-5。

∴所求的二次函数的解析式为

求解二次函数解析式，典型例题分析3：

在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），求抛物线的解析式。

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣1，

将B点坐标代入函数解析式，得（5﹣1）2a﹣1=3，

解得a=0.25．

故抛物线的解析式为y=0.25（x﹣1）2﹣1.

求解二次函数解析式，典型例题分析4：

已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。

解：设抛物线y=a(x－m)2+k，由题意得：

m=-1，k=-2

∴y=a(x+1)2-2

∵抛物线过点（1，10）

∴a(1+1)2-2=10

所以a=3

即解析式为y=3x2+6x+1.

求解二次函数解析式，典型例题分析5：

已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。

解：设所求解析式为y=a(x+5)(x－2)

∵图象经过（3，－4）

∴a(x+5)(x－2)=-4

∴a=-0.5

即：y=0.5(x+5)(x－2)

则所求解析式为y=-0.5x2-1.5x+5.

求解二次函数解析式，典型例题分析6：

已知抛物线y=-2x2+8x-9的顶点为A，若二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点

∴设二次函数的解析式为y=ax(x-3)

∵y=-2x2+8x-9的顶点为A（2，-1）。

∴将A点的坐标代入y=ax(x-3),

得到a=0.5

∴y=0.5x(x-3),

即y=0.5x2-1.5x.

记住二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。

3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

二次函数的解法

定义与定义表达式
　　一般的，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。自变量（通常为x）和因变量（通常为y）.右边是整式，且自变量的最高次数是2。 　　注意，“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。
二次函数的解法
　　二次函数的通式是 y= ax⒉+bx+c如果知道三个点 将三个点的坐标带入也就是说三个方程解三个未知数 　　如题方程一8=a2+b2+c 化简 8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点 　　方程二7=a×62+b×6+c 化简 7=36a+6b+c 　　方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化简 7=36a-6b+c 　　解出abc 就可以了 　　上边这种是老老实实的解法 　　对(6,7)(-6,7)这两个坐标 可以求出一个对称轴也就是X=0 　　通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算 　　如果知道过x轴的两个坐标(y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根)也可以用对称轴公式x=-b/2a算 　　或者使用韦达定理 一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0 且△=b-4ac≥0)中 　　设两个根为X1和X2 　　则X1+X2= -b/a 　　X1·X2=c/a
一般式
　　y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b²/4a)
顶点式
　　y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式
交点式
　　y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) 　　由一般式变为交点式的步骤：
二次函数(16张)　　∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a 　　∴y=ax^2+bx+c=a（x2+b/ax+c/a）=a=a(x-x1)(x-x2) 　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a》0时，开口方向向上；a《0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）
　　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距) 求根公式
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式
　　x是自变量，y是x的二次函数 　　x1,x2=/2a 　　(即一元二次方程求根公式）（如右图）　 　　求根的方法还有因式分解法和配方法 　　二次函数与X轴交点的情况 　　当△=b∧2-4ac》0时， 函数图像与x轴有两个交点。 　　当△=b∧2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。 　　当△=b∧2-4ac《0时，函数图像与x轴没有交点。
本段如何学习二次函数
　　1.要理解函数的意义。 　　2.要记住函数的几个表达形式，注意区分。 　　3.一般式,顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。 　　4.联系实际对函数图像的理解。 　　5.计算时，看图像时切记取值范围。 　　6.随图像理解数字的变换。
本段图像
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像， 　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。 　　注意：草图要有 　　1本身图像，旁边注明函数。 　　2画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a） 　　3与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-bx²)/4a).
轴对称
　　1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 　　 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。 　　特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0） 　　a,b同号，对称轴在y轴左侧　 　　b=0,对称轴是y轴 　　a,b异号，对称轴在y轴右侧
顶点
　　2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 　　当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)²+k 　　h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a
开口
　　3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。 　　当a》0时，二次函数图像向上开口；当a《0时，抛物线向下开口。 　　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。
决定对称轴位置的因素
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 　　当a》0,与b同号时（即ab》0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a《0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号 　　当a》0,与b异号时（即ab《0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a》0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 　　可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab》0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab《0 ），对称轴在y轴右。 　　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的 　　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
决定二次函数图像与y轴交点的因素
　　5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。 　　二次函数图像与y轴交于（0,C） 　　注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)
二次函数图像与x轴交点个数
　　6.二次函数图像与x轴交点个数 　　a《0;k》0或a》0;k《0时，二次函数图像与x轴有2个交点。 　　k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。 　　a《0;k《0或a》0,k》0时，二次函数图像与X轴无交点 　　_______ 　　当a》0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在x《h范围内是减函数，在 　　x》h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向 　　上，函数的值域是y》k 　　当a《0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x》h范围内事增函数，在 　　x《h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下 　　，函数的值域是y《k 　　当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数
特殊值的形式
　　7.特殊值的形式 　　①当x=1时 y=a+ah3+2ah+k 　　②当x=-1时 y=a+ah3-2ah+k 　　③当x=2时 y=4a+ah3+8ah+k 　　④当x=-2时 y=4a+ah3-8ah+k
二次函数的性质
　　8.定义域：R 　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①（a≠0） 　　对称轴X=(X1+X2)/2 当a》0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a》0且X≦（X1+X2）/2时Y随X 　　的增大而减小 　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连 　　用）。 　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
两图像对称
　　①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称 　　②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称 　　③y=ax2+bx+c与y=-a(x-h﹚2+k关于顶点对称 　　④y=ax2+bx+c与y=-a(x+h﹚2-k关于原点对称。
本段二次函数与一元二次方程
　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c， 　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 　　即ax²+bx+c=0 　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 　　1．二次函数y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 　　解析式 顶点坐标 对 称 轴 　　y=ax² (0，0) x=0 　　y=ax²+K (0，K) x=0 　　y=a(x-h)² (h，0) x=h 　　y=a(x-h)²+k (h，k) x=h 　　y=ax²+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a 　　 　　当h》0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到， 　　当h《0时，则向左平行移动|h|个单位得到。 　　当h》0,k》0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k（h》0,k》0）的图象 　　当h》0,k《0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)²+k（h》0,k《0）的图象 　　当h《0,k》0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)²+k（h《0,k》0）的图象 　　当h《0,k《0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)²+k（h《0,k《0）的图象 　　在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。 　　因此，研究抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。 　　2．抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象：当a》0时，开口向上，当a《0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，/4a)。 　　3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a》0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a《0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。 　　4．抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点： 　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； 　　(2)当△=b²-4ac》0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标） 　　当△=0．图象与x轴只有一个交点； 　　当△《0．图象与x轴没有交点．当a》0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y》0；当a《0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y《0。 　　5．抛物线y=ax²+bx+c的最值：如果a》0(a《0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b²)/4a。 　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。 　　6．用待定系数法求二次函数的解析式 　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： 　　y=ax²+bx+c(a≠0)。 　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。 　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
本段二次函数考点及例题
　　二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。中考典例 　　1．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 　　甲：对称轴是直线x=4； 　　乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 　　丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3． 　　请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：　． 　　考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法 　　评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1《x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2). 『因为交点式a(x-x1)(x-x2),又因为与y轴交点的横坐标为0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2 　　∵抛物线对称轴是直线x=4， 　　∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8　① ∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 6， 　　即：x2- x1=　② 　　①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4- 　　∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。 　　当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=± 1 　　当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=± 1 　　因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3) 　　即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3 　　说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。 　　解析法二： 猜测法 　　假设以原点标记为O（0，0）点，抛物线与Y轴交点为C（0，c），A(x1,0）， B(x2,0），则S△ABC=3，即是1/2·OC·AB=3,OC·AB=6=c·（x2-x1)（即是三角形的底乘以高等于6，而底是AB的距离，高为OC的距离，由条件乙、条件丙可知，三角形的底和高均为整数，即使A、B两点到对称轴的距离均相等且为整数，6=2*3=6*1，可知只可能有两种情况（1）AB间距离为2且高OC 为3，（2）AB间距离为6，高OC为1，便可简单解析出，当然后面需添加验证步骤。 　　2．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0《x《30)。y值越大，表示接受能力越强。 　　(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 　　(2)第10分时，学生的接受能力是什么？ 　　(3)第几分时，学生的接受能力最强？ 　　考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。 　　评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x《13时，y随x的增大而增大，当x》13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0《x《30，所以两个范围应为0《x《13；13《x《30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下： 　　解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)²;+59.9 　　所以，当0《x《13时，学生的接受能力逐步增强。 　　当13《x《30时，学生的接受能力逐步下降。 　　(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。 　　所以，第10分时，学生的接受能力为59。 　　(3)x=13时，y取得最大值， 　　所以，在第13分时，学生的接受能力最强。 　　3．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： 　　(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； 　　(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)； 　　(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 　　解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为 　　:(55–40)×450=6750(元)． 　　(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元)， 　　∴y与x的函数解析式为：y =–10x^2+1400x–40000． 　　(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000， 　　即：x2–140x+4800=0， 　　解得：x1=60，x2=80． 　　当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为： 　　40×400=16000(元)； 　　当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为： 　　40×200=8000(元)； 　　由于8000《10000《16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元． 　　5．2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值Y元，已知全市生产总值=全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人），人均生产产值为y（元）． 　　（1）求y关于x的函数关系式； 　　（2）2006年义乌市户籍人口为706 684人，求2006年义乌市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元=7.96元人民币），义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？ 　　6．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是(　) (A)直线x=1　(B)直线x=-1　(C)直线x=2　(D)直线x=-2 考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴． 评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：x=-b/2a，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确． 另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选A． 　　7..某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，图中的二次函数图像（部分）刻画了了该公司年初以来累计利润s（万元）与销售时间t(月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）. 　　根据图像提供的信息，解答下列问题： 　　（1）由已知图像上的三点坐标，求累计利润s(万元）与销售时间t（月）之间的函数表达式; 　　(2)求截止到几月末公司累计利润可达30万元 　　(3)求第8个月公司所获利润是多少万元。 　　图像我整不来，我只能把图标说一下：横坐标是（t/月），纵坐标是（s/万元），然后图上画了3个坐标点，（1，-1.5）（2，-2）（5，2.5）。 　　（^2代表平方，*代表乘号） 　　解：（1）设函数关系试为S=at2+bt+c 　　因为S=at2+bt+c经过（1，-1.5）（2，-2）（5，2.5） 　　所以-1.5=a+b+c 　　-2=4a+2b+c 　　2.5=25a+5b+c 　　解得a=1/2 　　b=-2 　　c=-0 　　所以函数关系试为S=1/2t2-2t 　　(2)将S=30代入关系试得30 =1/2t2-2t 解得t1=10 t2=-6（舍去） 　　(3)将t=8代入关系式得S=1/2*64-2*8=16 　　利用以上方法求解析式 　　①一般式：根据y=ax2+bx+c将（a,b）（c,d）（m,n）同时带入y=ax2+bx+c可得解析式 　　②顶点式：y=a（x-h）+k ,h为顶点横坐标 k为顶点的纵坐标将顶点和一个任意坐标带入顶点式后化简可得解析式 　　③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) -x1 -x2为与x轴的交点横坐标 将x1 x2带入交点式 再带入任意一个坐标 可得交点式化简后可得解析式1.二次函数的图像经过A(1,1),B(-1,7)C(2,4)三点，求二次函数的解析式。 　　解法：将A、B、C三点代入方程得a+b+c=1，a-b+c=7,4a+2b+c=4 解得a=2,b=-3,c=2 　　2.已知当x=2是，函数有最小值为3，且过点（1,5），求二次函数解析式。 　　解法：∵x=2时，函数有最小值为3，∴h=2,c=3，∵过点（1,5）∴5=a(1-2)²+3 解得a=2，∴二次函数方程为y=2（x-2)²+3。 　　3.二次函数的图像经过点（3，-8）对称轴为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的距离为6，求二次函数解析式。 　　解法：3.∵二次函数对称轴为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的距离为6，∴抛物线与X轴两个交点的坐标为（-1,0），（5,0）∵二次函数的图像经过点（3，-8），a=1∴二次函数方程为y=（x+1）×（x-5）

二次函数的四种解析式

二次函数的四种解析式如下：

一、常规的抛物线求解方法

二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c(a≠0),最常见的也是最容易明白的求解方法，就是题目中告诉抛物线经过三个任意点，这种类型的求解方法是根据抛物线的定义来求解。

把抛物线所经过的三点的横坐标和纵坐标依次带入表达式，组成三个三元一次方程，从而构成三元一次方程组，根据求解方程组的方法求出a,b,c的值。

在中考压轴题中，这种类型比较少，但是对于初步学习二次函数的学生来说，一定要理解这种表达式的求解方法，并且要在计算过程中保证不要算错，因此进行验算非常有必要。

例如已知二次函数经过A（2，-9），B（1，-8），C（-3，16），求函数的表达式。

把这三个点的横坐标和纵坐标依次代入y=ax^2+bx+c,可得4a+2b+c=-9,a+b+c=-8,9a-3b+c=16,通过计算可得a=1,b=-4,c=-5,所求的抛物线解析式为y=x^2-4x-5.

二、根据顶点求解析式

每个抛物线都有一个顶点，而且只有一个。有些题目指出抛物线的顶点，怎么根据顶点来求抛物线表达式呢？

首先要对抛物线基本表达式y=ax^2+bx+c进行分析，这个表达式中，它的顶点坐标是什么？通过化简，可得y=a(x+b/2a)-(b^2-4ac)/4a,通过这个解析式知道它的顶点是,在实际解题中。

如果知道某个函数的顶点之后，我们把顶点坐标代入到顶点公式中，比较繁琐，因此可以设函数为y=a(x+h)^2+k,这个函数的顶点是（-h,k）这样可以使这个函数的求解变得简单，只要能够求出二次函数的系数，这个函数的解析式就可以求出。

已知某函数的顶点是A（1,2），它又过点（3,5），求它的解析式

根据顶点是（1,2）可设y=a(x-1)^2+2,再把x=3,y=5代入可得4a+2=5,a=3/4

再把a=3/4代入可以算出y=3/4(x-1)^2+2=3x^2/4-3x/2+11/4

备注：当a》0时，函数顶点处是函数的最低点，具有最小值，而当a《0时，顶点处是最高点，具有最大值。

三、根据与坐标轴交点求解析式

根据函数图像的性质可知，二次函数与x轴的交点有三种可能，分别是无交点，一个交点和两个交点，而题目中大多数情况下是有两个交点，如果知道两个交点的坐标，再知道另一个交点，就可以求出表达式。

在此简单介绍一下，y=ax^2+bx+c,当函数与x轴有两个交点时，可以写成y=a(x-x1)(x-x2),x1,x2是函数与x轴两个交点的横坐标。

还需要注意一点，如果知道任何二次函数与抛物线纵坐标的交点，可以求出表达式中c的值，因为与y轴交点的纵坐标是（0，c），这样可以知道c的值，为求解析式提供方便。

例如已知某函数与x轴两个交点时（1,0），（-3，0），可设此函数的表达式为y=a(x-1)(x+3),

有时候题目中不直接指出具体的坐标值，乃是讲函数与x轴交点在x轴左侧或右侧，如果是左侧，那么坐标轴是负值，如果是右侧，那么坐标轴是正值。

还要注意如果没有直接讲坐标的正与负，乃是指出长度，一定要注意是在原点左边或者右边，如果只是长度，其实乃是指这个点到原点的距离，坐标可正可负。

四、利用面积求表达式

以上三种方法，想必每位学生都能够掌握，而第四种在难题中经常出现，就是利用面积求表达式

利用面积求表达式，题目中告知抛物线顶点和与x轴交点所围成的三角形面积，然后求表达式，或者根据抛物线与y轴的交点和与x轴两个交点，构成的三角形的面积，求表达式。

1、y轴交点与x轴两个交点围成的三角形

这种题目在求解的时候，要注意所围成的三角形的面积是1/2x|c|x(|x1-x2|)，与x轴两个交点的横坐标x1,x2可能是全正，也可能是一正一负，也可能是全负。与y轴的交点也可能在y轴正半轴，也可能在y轴负半轴，视具体情况而定。

例题，已知某抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，C点在y轴正半轴上，S△ABC=6,OA=1,OB=4OA,OC=4OA求此抛物线的表达式。

从题目中看到S△ABC=1/2xOCxAB=1/2x4OAx(4OA-OA)=6OA^2=6,OA=1

因此OC=4,C点在y轴正半轴上，所以C坐标是（0,4）

OB=4OA=4,OA=1,AB=3,所以A(1,0),B(4,0)或A(-1,0),B(-4,0)

这时候可以根据方法三求解出表达式。

2、顶点与x轴两个顶点围成的三角形

这种情况下，要注意函数顶点和x轴所围成的三角形面积，它的求解方法是x轴上两点之间的距离和顶点到x轴距离的乘积的一半。算出两个交点的横坐标，和顶点纵坐标后，再结合图像算出顶点的横坐标，这种题目就迎刃而解，在此不详细讲解。

中考二次函数经典例题及解析

二次函数一直都是中考中的必考内容，而且在中考试卷中占有很大比值。所以中学生学好二次函数非常重要。下面我整理了二次函数经典例题及解析，仅供参考。

二次函数经典例题

答案解析：

如何学好数学二次函数

理解二次函数的内涵及本质：

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c是常数)中含有两个变量x、y，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解;而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图像就是由无数个这样的点构成的图形。

特别地，若图像上某一点的横坐标为m(字母)，那纵坐标可表示成am¬2+bm+c。

掌握抛物线与坐标轴交点的求法：

一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标。如果方程无实数根，则说明抛物线与x轴无交点。

从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程.联系方程的根的判别式，利用根的判别式的值来判定抛物线与x轴的交点个数。